Math:泰勒(Taylor)公式

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泰勒中值定理

泰勒中值定理

如果函数 f ( x ) f(x) f(x)在含有 x 0 x_0 x0​的某个开区间 ( a , b ) (a,b) (a,b)内具有直到 ( n + 1 ) (n+1) (n+1)阶的导数,则对任一 x ∈ ( a , b ) x \in (a,b) x∈(a,b),有

f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + f ′ ′ ( x 0 ) 2 ! ( x − x 0 ) 2 + . . . + f n ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n + R n ( x ) , f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{f^n(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x), f(x)=f(x0​)+f′(x0​)(x−x0​)+2!f′′(x0​)​(x−x0​)2+...+n!fn(x0​)​(x−x0​)n+Rn​(x),

公式(1): f ( x ) f(x) f(x)按 ( x − x 0 ) (x-x_0) (x−x0​)的幂展开的带有拉格朗日型余项的n阶泰勒公式

假设

P n ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + f ′ ′ ( x 0 ) 2 ! ( x − x 0 ) 2 + . . . + f n ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n , P_n(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{f^n(x_0)}{n!}(x-x_0)^n, Pn​(x)=f(x0​)+f′(x0​)(x−x0​)+2!f′′(x0​)​(x−x0​)2+...+n!fn(x0​)​(x−x0​)n,

公式(2):此关于 ( x − x 0 ) (x-x_0) (x−x0​)的 n n n次多项式 P n ( x ) P_n(x) Pn​(x)称为 f ( x ) f(x) f(x)按 ( x − x 0 ) (x-x_0) (x−x0​)的幂展开的n次泰勒多项式

则有

f ( x ) = P n ( x ) + R n ( x ) , f(x)=P_n(x)+R_n(x), f(x)=Pn​(x)+Rn​(x),

其中

R n ( x ) = f ( n + 1 ) ( ξ ) ( n + 1 ) ! ( x − x 0 ) n + 1 , 其 中 , ξ 为 x 0 和 x 之 间 的 某 个 值 . R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1},其中,\xi为x_0和x之间的某个值. Rn​(x)=(n+1)!f(n+1)(ξ)​(x−x0​)n+1,其中,ξ为x0​和x之间的某个值.

公式(3):此 R n ( x ) R_n(x) Rn​(x)的表达式称为拉格朗日型余项

性质描述

第1点:泰勒中值定理和拉格朗日中值定理之间的联系

当 n = 0 n=0 n=0时,泰勒公式会变成拉格朗日中值公式: f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( ξ ) ( x − x 0 ) f(x)=f(x_0)+f'(\xi)(x-x_0) f(x)=f(x0​)+f′(ξ)(x−x0​),其中, ξ \xi ξ在 x 0 x_0 x0​与 x x x之间。因此,泰勒中值定理拉格朗日中值定理的推广。

拉格朗日中值定理

如果函数 f ( x ) f(x) f(x)满足:(1)在闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续;(2)在开区间 ( a , b ) (a,b) (a,b)内可导,那么在 ( a , b ) (a,b) (a,b)内至少有一点 ξ ( a &lt; ξ &lt; b ) \xi(a&lt;\xi&lt;b) ξ(a<ξ<b),使等式: f ( b ) − f ( a ) = f ′ ( ξ ) ( b − a ) f(b)-f(a)=f&#x27;(\xi)(b-a) f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)成立。

拉格朗日中值定理的几何意义是:如果连续曲线 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)的弧 A B ^ \widehat{AB} AB 上除端点外处处具有不垂直于 x x x轴的切线,那么这弧上至少有一点 C C C,使曲线在 C C C点处的切线平行于弦 A B AB AB。其中, f ( b ) − f ( a ) b − a \frac{f(b)-f(a)}{b-a} b−af(b)−f(a)​为弦 A B AB AB的斜率,而 f ′ ( ξ ) f&#x27;(\xi) f′(ξ)为曲线在点 C C C处的切线的斜率。

第2点:误差估计式与佩亚诺型余项

泰勒中值定理可知,以多项式 P n ( x ) P_n(x) Pn​(x)近似表达函数 f ( x ) f(x) f(x)时,其误差为 ∣ R n ( x ) ∣ |R_n(x)| ∣Rn​(x)∣。如果对于其某个固定的 n n n,当 x ∈ ( a , b ) x \in (a,b) x∈(a,b)时, ∣ f n + 1 ( x ) ∣ ⩽ M |f^{n+1}(x)| \leqslant M ∣fn+1(x)∣⩽M,则有误差估计式

∣ R n ( x ) ∣ = ∣ f n + 1 ( ξ ) ( n + 1 ) ! ( x − x 0 ) n + 1 ∣ ⩽ M ( n + 1 ) ! ∣ x − x 0 ∣ n + 1 , 及 lim ⁡ x → x 0 R n ( x ) ( x − x 0 ) n = 0. |R_n(x)|=|\frac{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}|\leqslant \frac{M}{(n+1)!}|x-x_0|^{n+1},及\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{R_n(x)}{(x-x_0)^n}=0. ∣Rn​(x)∣=∣(n+1)!fn+1(ξ)​(x−x0​)n+1∣⩽(n+1)!M​∣x−x0​∣n+1,及x→x0​lim​(x−x0​)nRn​(x)​=0.

公式(4):误差估计式

由此可见,当 x → x 0 x \rightarrow x_0 x→x0​时误差 ∣ R n ( x ) ∣ |R_n(x)| ∣Rn​(x)∣是比 ( x − x 0 ) n (x-x_0)^n (x−x0​)n高阶的无穷小,即

R n ( x ) = o [ ( x − x 0 ) n ] . R_n(x)=o[(x-x_0)^n]. Rn​(x)=o[(x−x0​)n].

公式(5):此 R n ( x ) R_n(x) Rn​(x)的表达式称为佩亚诺(Peano)型余项

第3点:带有佩亚诺型余项的n阶泰勒公式

在不需要余项的精确表达式时,n阶泰勒公式也可写成

f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + f ′ ′ ( x 0 ) 2 ! ( x − x 0 ) 2 + . . . + f n ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n + o [ ( x − x 0 ) n ] . f(x)=f(x_0)+f&#x27;(x_0)(x-x_0)+\frac{f&#x27;&#x27;(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{f^n(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o[(x-x_0)^n]. f(x)=f(x0​)+f′(x0​)(x−x0​)+2!f′′(x0​)​(x−x0​)2+...+n!fn(x0​)​(x−x0​)n+o[(x−x0​)n].

公式(6): f ( x ) f(x) f(x)按 ( x − x 0 ) (x-x_0) (x−x0​)的幂展开的带有佩亚诺型余项n阶泰勒公式

第4点:带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式

在泰勒公式(1): f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + f ′ ′ ( x 0 ) 2 ! ( x − x 0 ) 2 + . . . + f n ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n + R n ( x ) f(x)=f(x_0)+f&#x27;(x_0)(x-x_0)+\frac{f&#x27;&#x27;(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{f^n(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x) f(x)=f(x0​)+f′(x0​)(x−x0​)+2!f′′(x0​)​(x−x0​)2+...+n!fn(x0​)​(x−x0​)n+Rn​(x)中,如果取 x 0 = 0 x_0=0 x0​=0,则 ξ \xi ξ在0与 x x x之间。因此可以令 ξ = θ x ( 0 &lt; θ &lt; 1 ) \xi=\theta x(0&lt;\theta&lt;1) ξ=θx(0<θ<1),从而泰勒公式变成较简单的形式,即所谓带有拉格朗日型余项麦克劳林(Maclaurin)公式

f ( x ) = f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) x + f ′ ′ ( 0 ) 2 ! x 2 + . . . + f n ( 0 ) n ! x n + f n + 1 ( θ x ) ( n + 1 ) ! x n + 1 , ( 0 &lt; θ &lt; 1 ) . f(x)=f(0)+f&#x27;(0)x+\frac{f&#x27;&#x27;(0)}{2!}x^2+...+\frac{f^n(0)}{n!}x^n+\frac{f^{n+1}(\theta x)}{(n+1)!}x^{n+1},(0&lt;\theta&lt;1). f(x)=f(0)+f′(0)x+2!f′′(0)​x2+...+n!fn(0)​xn+(n+1)!fn+1(θx)​xn+1,(0<θ<1).

公式(7):带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式

第5点:带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式

在泰勒公式(7): f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + f ′ ′ ( x 0 ) 2 ! ( x − x 0 ) 2 + . . . + f n ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n + o [ ( x − x 0 ) n ] f(x)=f(x_0)+f&#x27;(x_0)(x-x_0)+\frac{f&#x27;&#x27;(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{f^n(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o[(x-x_0)^n] f(x)=f(x0​)+f′(x0​)(x−x0​)+2!f′′(x0​)​(x−x0​)2+...+n!fn(x0​)​(x−x0​)n+o[(x−x0​)n]中,如果取 x 0 = 0 x_0=0 x0​=0,则有带有佩亚诺型余项麦克劳林公式

f ( x ) = f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) x + f ′ ′ ( 0 ) 2 ! x 2 + . . . + f n ( 0 ) n ! x n + o ( x n ) . f(x)=f(0)+f&#x27;(0)x+\frac{f&#x27;&#x27;(0)}{2!}x^2+...+\frac{f^n(0)}{n!}x^n+o(x^n). f(x)=f(0)+f′(0)x+2!f′′(0)​x2+...+n!fn(0)​xn+o(xn).

公式(8):带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式

第6点:函数f(x)的近似公式与误差估计式

由带有拉格朗日型余项麦克劳林(Maclaurin)公式(7)带有佩亚诺型余项麦克劳林公式(8)可得近似公式

f ( x ) ≈ f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) x + f ′ ′ ( 0 ) 2 ! x 2 + . . . + f ( n ) ( 0 ) n ! x n , f(x)\approx f(0)+f&#x27;(0)x+\frac{f&#x27;&#x27;(0)}{2!}x^2+...+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n, f(x)≈f(0)+f′(0)x+2!f′′(0)​x2+...+n!f(n)(0)​xn,

误差估计式(4)相应的会变成

∣ R n ( x ) ∣ ⩽ M ( n + 1 ) ! ∣ x ∣ n + 1 . |R_n(x)|\leqslant \frac{M}{(n+1)!}|x|^{n+1}. ∣Rn​(x)∣⩽(n+1)!M​∣x∣n+1.

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