信号与系统(二):拉普拉斯变换的意义:谈H(s)、h(t)、δ(t)

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信号与系统

一、引言

在《信号与系统》或者《自动控制理论》中,我们分析线性时不变系统,本质是求解线性常系数微分方程。我们遇到各种变换,傅里叶、拉普拉斯,他们的意义主要分为数学意义、物理意义。在工程中,我们关心更多的是物理意义。但实际上,如果不了解数学意义,物理意义会显得很突然、很不严谨。我们应该将两者结合起来,这有助于我们理解这样做的目的,也符合人类对自然的认知规律。

对于傅里叶级数、傅里叶变换,其数学意义、物理意义比较容易理解,因为频率这个概念,非常容易理解,它广泛存在于人们的日常生活中。然而,拉普拉斯变换的物理意义就不是那么自然,并且为了理解它,我们还需要克服一些数学上的障碍,比如δ(t)函数的意义。我本人也曾经在这个问题上迷惑了很长时间,后来终于将隐藏在其后面的物理意义、数学意义融汇贯通。在探寻答案的过程中,我试图假设自己就是当初的科学家,如果面对当初的问题,如何有逻辑地、一层一层解开谜团。我认为,解法并不重要,重要的是创造的方法、思想和哲学。虽然尽我所能,试图还原这个认知过程,但有些地方仍然显得像是“事后诸葛亮”。我还原的这个过程,不一定是真实的历史过程,但已尽量遵循事理逻辑、认知规律和我所知的相关历史。闲话不再多说,下面进入正题。

二、拉普拉斯变换的意义

拉普拉斯变换的一个重要意义在于将求解线性常系数微分方程,转化为解代数方程(虽然要引入复数),大大简化计算。它的另一个意义在于,揭示了线性时不变系统的本质:系统传输函数H(s)、系统冲击响应h(t),使我们能够不必逐个分析所有输入信号x(t)、所有初态下的响应y(t)是什么样的,就能很方便的分析系统特性,如稳定性。

让我们先看看拉普拉斯变换是如何简化运算的:

情形1)

如果输入信号x(t)的拉普拉斯变换X(s)是容易获得的,且Y(s)=X(s)H(s)的拉普拉斯逆变换y(t)也是容易获得的,那么求解系统微分方程将十分简便。如果x(t)、Y(s)是常用拉普拉斯变换对的组合,我们通过查表就能完成求解系统微分方程。真是很方便啊。信号与系统的考题很多都是这种,主要是让大家能通过手算体验到拉普拉斯变换的神奇威力啊。

情形2)

即使输入信号x(t)的拉普拉斯变换、Y(s)的拉普拉斯逆变换不容易获得,拉普拉斯变换也是很有威力的。因为,通常H(s)的逆变换h(t)是容易获得的,然后我们根据公式y(t)=x(t)*h(t)(注意,这个公式的正确性由拉普拉斯变换、拉普拉斯逆变换的关系保证),即可得到出y(t)。这种方法的好处是,我们无需依赖于x(t)的拉普拉斯变换难易程度,仅凭借容易获得的H(s)的逆变换h(t),就能求出响应信号y(t)。

显然在两种计算过程中,我们都不需要关心H(s)、h(t)的物理意义,也不需要引入什么奇怪的δ(t)信号,只需傻傻地套用拉普拉斯变换对表和公式y(t)=x(t)*h(t),即可获得响应信号y(t),一切都是这么自然、这么神奇。

如果是数学家,可能认为问题已经解决了:找到一种求解微分方程的好办法了,能算,管用,不就完了么。好奇的人会问数学家,为什么这种方法能这么简便。数学家会说,先把输入信号拆成指数信号的线性组合,而指数信号在微分作用下相当于乘上一个系数,于是将微分运算转化为代数运算,快速得到每个指数信号通过系统后的输出信号,再把这些输出指数信号累积起来就是线性是不变系统的总输出,所以这么简便。说完这些,数学家可能就匆匆走了。

但如果是物理学家,往往会想,既然这些微分方程的确能描述物理世界,与实验测试吻合,那么这种解法一定蕴含什么物理意义。也就是说,数学家想到了某种解法,物理学家会赋予其物理意义,这种物理物理意义便于理解规律,也便于指引新的研究方向。历史告诉我们,还可能存在相反的情况,物理学家想到了(或者猜到了)物理意义,然后数学家(可能就是物理学家自己)根据这个物理意义想到了一种数学解法。这就是数学、物理相互推动的现象。话说回来,物理学家所关心的拉普拉斯变换的物理意义到底是什么呢?解释拉普拉斯变换的物理意义,其实就是解释X(s)、Y(s)、H(s)、h(t)的物理意义。

1)X(s)、Y(s),难以称得上有物理意义

前面数学家已经说了,我们试图将x(t)拆分成指数信号的线性组合,X(s)就是这种组合中每个指数分量的系数。Y(s)同理。那每个指数分量是什么意义呢?它代表一种周期性的增长、衰减、震荡。周期信号是一种震荡,直流信号也可看成一种震荡,只不过振幅为0罢了。其它信号在时间无限大时,要么趋于0,要么趋于有限,要么趋于无限,有的可以找到一群合适指数信号为基,逼近该信号。这种指数信号,我们很难找到其物理意义。网上有人说是一种幅度呈实指数变化的螺旋运动,这不过是将傅里叶变换中的指数信号e^jwt的含义搬移改造罢了。可惜,圆周运动的物理图像,人们见得多,容易接受,而这种幅度呈实指数变化的螺旋运动,很难找到现实场景对应。所以,说拉普拉斯变换的指数基,具有物理意义,是比较牵强的。

  

2)H(s),勉强称得上有物理意义

H(s)的数学意义是系统对输入信号X(t)的每个指数基的增益。由上一点分析,X(s)、Y(s)都难以称得上有物理意义,那么作为它们比值的H(s),也就很难称得上有物理意义。也有观点认为,H(s)蕴含了系统的极点,系统微分方程的通解,系统的本征频率,所以H(s)的物理意义是蕴含本征频率,我觉得,可以这么说,稍有些勉强。

 

3)h(t)的物理意义是什么?

既然h(t)是时间的函数,那它有没有可能是某个输入信号的响应?即是否存在一个输入信号x(t),使得:

 y(t) = h(t) * x(t) = h(t)  对于任意h(t)都成立

等价于:是否存在输入信号x(t),其输出信号满足

 Y(s) = H(s)X(s) = H(s)

等价于:

 X(s) = 1

  

脉冲信号    

PΔ(t) = 1/Δ (0 < t < Δ)

      0   (t > Δ)    

      

就几乎是这样一个信号,当Δ -> 0时,

h(t) * PΔ(t) -> h(t)  

Lapalace (PΔ(t)) -> 1

  

脉冲信号的极限即为δ(t),δ(t)本质代表PΔ(t)的极限:

我们说:h(t)*δ(t) = h(t)

本质上是说:当Δ -> 0时,h(t) * PΔ(t) -> h(t)

(对于一个极短的脉冲,其响应收敛于h(t)。其实,只要脉冲短,不论什么形状,响应都收敛于h(t)。

 即:δ(t)的本质是一个极短的脉冲,短到h(t)在此时间内几乎保持不变(δ(t)成为一个理想的系统测试信号),

 也可以说短到x(t)在此时间内几乎保持不变(δ(t)成为一个理想的采样信号,后面我们将很快看到这一点))

我们说:δ(s) = 1

本质上是说:当Δ -> 0时,PΔ(s) = 1(δ(t)成为一个理想的全频谱等幅信号)

4)再次探寻δ(t)     

在上面对拉普拉斯变换物理意义的探寻过程中,δ(t)信号被引入。其实,δ(t)信号还有另外一种引入方式。该方式更能说明δ(t)作为

时域筛选信号(采样信号)的本质。

除了将输入信号按指数基分解,还可以按时间轴分解(微分):

 x(t) = ∑(x(kΔ)PΔ(t-kΔ)Δ

若PΔ(t)的系统响应为hΔ(t),根据线性时不变性,x(t)响应为

 y(t) = ∑(x(kΔ)hΔ(t-kΔ)Δ

 

当Δ -> 0时,求和变为积分

 x(t) = x(t) * PΔ(t) = x(t) * δ(t)

 y(t) = x(t) * hΔ(t) = x(t) * h(t)

我们说:x(t) = x(t) * δ(t)

本质上是说:当Δ -> 0时,x(t) * PΔ(t) -> x(t)

(δ(t)成为一个理想的采样信号)

 

我们说:y(t) = x(t) * h(t)

本质是说:x(t)可以分解成无数个脉冲信号的线性组合,所以y(t)可以分解成无数个脉冲响应的线性组合

 

三、结束语

当然,拉普拉斯变换得到传递函数H(s),在系统稳定性分析中还有很多技巧和应用,是自动控制理论中十分重要的部分。但由于本文初衷是阐述意义、追溯历史,而非强调计算分析技巧,故不涉及相关内容。

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版权声明: 发表于 2020-07-11 11:48:30。

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