穿针引线法的前世今生【初级和中阶辅导】

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穿针引线法

一、穿针引线法的前世--零点分区间讨论法

说起穿针引线法,不得不说零点分区间讨论法,比如碰到高次不等式,也有人这样来解。

比如解不等式\((x+1)(x-2)(x+3)>0\),为便于表述令\(P=(x+1)(x-2)(x+3)\),

先找到零点\(x=-3,x=-1,x=2\),然后分区间列表得到

\(\begin{array}{c|ccccccc} x范围 & \text{$x<-3$} & \text{$\color{red}{x=-3}$} &\text{$-3<x<-1$} & \text{$\color{red}{x=-1}$} &\text{$-1<x<2$} & \text{$\color{red}{x=2}$} &\text{$x>2$} \\ \hline P的值 & - & 0 &+& 0 & - & 0 & + \\ \end{array}\)

由表格就可以得到不等式的解集\(\{x\mid -3<x<-1 或x>2\}\)。

这和绝对值不等式的解法中的零点分区间讨论法是一样的。后来有人对此方法做了改进,就得到了穿针引线法。

二、穿针引线法-----今生

  • “穿针引线法”也叫“数轴标根法”,或“数轴穿根法”或“穿根法”,准确的说,应该叫做“序轴标根法”。

序轴:省去原点和单位,只表示数的大小的数轴。序轴上标出的两点中,左边的点表示的数比右边的点表示的数小。

  • 当高次不等式\(f(x)>0(或<0)\)的左边整式,分式不等式\(\cfrac{\phi(x)}{h(x)}>0(<0)\)的左边分子、分母能分解成若干个一次因式的积\((x-a_1)(x-a_2)\cdots (x-a_n)\)的形式,可把各因式的根标在序轴上,形成若干个区间,最右端的\(f(x)\),\(\cfrac{\phi(x)}{h(x)}\)的值必须为正值,从右往左通常为正值、负值依次相间,这种解不等式的方法称为序轴标根法。为了形象地体现正负值的变化规律,可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点,穿过最后一个点后就不再变方向,这种画法俗称“穿针引线法“。很显然,这种方法体现了数形结合思想,所以用起来很方便。

  • 据说是河南省信阳市高二的一名老教师,于上世纪八十年代发表的一篇论文上介绍此法,从此流传开来。

  • 1、使用步骤:我们以穿针引线法解不等式\(x^3-x+2>2x^2\)为例,加以说明。

第一步:一端化为\(0\);先将不等式转化为\(f(x)>0(<0)\)的形式。为什么呢,其实这种方法是利用了高中数学中的“函数与方程”思想,做出函数\(y=f(x)\)和数轴\(y=0\),利用两个函数图像的交点来解读不等式。所以右端必须化为\(0\)。比如我们将不等式\(x^3-x+2>2x^2\)转化为\(x^3-2x^2-x+2>0\);

第二步:分解调系数;将不等式\(x^3-2x^2-x+2>0\)分解为\((x-2)(x-1)(x+1)>0\);务必将每一个因式的最高次项的系数调整为正值,比如某不等式分解后为\((2-x)(x+1)(x+3)>0\),就必须调整为\((x-2)(x+1)(x+3)<0\), 分解方法

第三步:变等求零点;将上述的不等式\(f(x)>0\)的不等号变成等号即\(f(x)=0\),求出函数\(f(x)\)的零点;如令\((x-2)(x-1)(x+1)=0\);得到零点为\(x=-1,x=1,x=2\)

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第四步:序轴并标根;在序轴上从左到右按照大小依次标出各根\(-1,1,2\)。

第五步:划线穿序轴;以序轴为标准,从“最右端的根\(2\)”的右上方穿过序轴,往左下画线,然后又穿过“次右根\(1\)”上去,一上一下依次穿过各根。

第六步:读图写解集;观察不等号,如果不等号为\(>\),则取数轴上方,穿根线以内的范围;如果不等号为\(<\),则取数轴下方,穿根线以内的范围。

比如不等式\((x-2)(x-1)(x+1)>0\)的解集为\(\{x\mid -1<x<1或x>2\}\)。

  • 可以简单记为秘籍口诀:自上而下,自右而左,奇穿偶不穿;

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  • 2、注意事项:

使用“穿针引线法”时,常犯以下的几种错误:

①如将不等式分解为\((x+2)(1-x)(x+3)>0\)解直接穿根,错在需要将其调整为\((x+2)(x-1)(x+3)<0\)再穿根;

当然不等式\((x+2)(x^2-1)<0\)也不能直接穿根,因为没有分解到最后;

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②没有分清重根的奇偶,比如不等式\((x-0.5)^2(x-1)(x-2)^3>0\),其中根\(x=0.5\)是二次重根(偶次重根),根\(x=1\)是一次重根(奇次重根),根\(x=2\)是三次重根(奇次重根),故穿根时,在\(x=2\)和\(x=1\)出都是一次穿过,而在根\(x=0.5\)处,是穿而不过,就像蜻蜓点水一样。

③出现不能再分解的二次因式时,简单地放弃“穿针引线”,如\(x(x+1)(x-2)(x^3-1)>0\)也可以用,先化为\(x(x+1)(x-2)(x-1)(x^2+x+1)>0\),注意到二次三项式\(x^2+x+1\)由于其\(\Delta <0\),故\(x^2+x+1>0\)恒成立,所以原不等式等价于\(x(x+1)(x-2)(x-1)>0\),穿针引线法如右图得到解集\(\{x\mid x<-1或0<x<1或x>2\}\)。

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④以为只可以用来解高次不等式,不能用来解分式不等式,比如解分式不等式\(\cfrac{x(x-2)}{(x-1)(x+1)}>0\),利用符号法则,就可以等价转化为\(x(x+1)(x-2)(x-1)>0\),故解集同上。具体解分式不等式时,我们甚至不需要将其转化为整式不等式,直接穿根就行了。

3、穿根法的适用范围

可以用来解高次不等式和分式不等式,当然也可以解一次和二次不等式。等到使用熟练后,我们利用心算能力就可以画图写出解集了。

相关阅读1、因式分解法参见打开博文的试商法,分组分解法,多项式除法

2、零点分区间讨论法解绝对值不等式

3、穿根法的另类应用

比如函数\(f(x)=(x+1)^2\cdot (x-2)\),我们可以做出函数的图像,

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